矩阵位来自移法，是结构力学中超友兰如乱热静定结构静力问题的三大求解方法之一（另两种为力法、位移法），由位移法派生而来，是一丝种有限元分析方法。矩阵位移法以结构中的节点位移和零散的单元杆件为研究对象，求解时以某个虚位资练接移作用于节点，进而产生单元刚度；将每个虚位移对其相关单元杆件的单元刚度按照事先指定的位移编号对号入座并叠加，排成刚度方阵，再把外顾也守圆委执全灯天加荷载对节点产生的内力按位移编号列成列向量，根据平衡协调条件解线性方程组求虚位移大小及方向，最终作出轴力图、弯矩图和扭矩图。当求解结构计入轴力、扭矩影响时，360百科可以使用矩阵位移法盾求解，而不能用力法求解（力法只能在不计轴向变形和扭转变形的前提下使用）。
矩阵位移法一般采用统一的右手坐标系，即平面问题中右、上、逆时针为正（也有采用以右固张温则、下、顺时针为正的坐标系的），空间问题中三个坐标轴的正向满者足右手系、力矩旋转方向满足右手螺旋主况因紧定则；平面问题中对于不平行于 x 轴的杆件须进行坐标转换。 矩阵位移法将结构单元化营理吃参由、数据化，其实质是全面线性代数化，因此广泛用于计算机辅助求解。工程设计中的计算程序基本都是按照矩阵超位移法原理编写的。
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- 中文名 矩阵位移法
- 应用学科 土木工程、机械工程-结构力学
- 核心思想 将结构离散化、数据化，实质是全面线性代数化
- 特点 数学表达能力强、易于编程求解，对一切结构都适用
- 求解流程 结构离散、单元分析、坐标转换、整体分析、代入荷载、解方程组
概述
来自 矩阵位移法是360百科土木、机械工程中求解结构力学问题的唯一一种普适方法，其思想由求解不考虑轴向力和扭矩的结构所运用的位移法派生而来。矩阵位移法是把结构看量义门成若干单一刚度的直杆通过铰结点和刚结点连接而成的体系，建立适当的直角坐标系，通过第众夫边会在每个节点处强加正向虚位移使得这个节点的相关单元杆产生单元刚度，再由节点上的已知力建立线性方程组求解出每个虚位移的大小及方向，进而得出结构的一套内力图。
矩阵位移法求区烧职材体花解结构力学超静定静力问题的一级流程是：结构离散、单元分析、坐标转换、整体分析、代入荷载、解方程组、代回位移。
以下内容除“空古压反科思间问题”外均讨论平面问题。
特点
表达力强
矩阵运算是线性代分乎数的基础，表达力强、运算简洁方便并且适于计算机组织运算，是用计算机进行结构数值分析的最强有力的数学工具。
矩阵位移法与沙接圆散离他解就距结构力学的力法和位移法相对应，也就是结构的矩阵分析方法，等价于将结构这个带有几何性质的物体转化成为单纯的数据，以便计算机进行线性运属入学临算。
适于编程
矩阵位移要预看法便于编制程序，因而在工程界得到广泛应用。
矩阵位移法并不因采用矩阵数学的描述手段，而改变位移法的基本原理。它与位移法的区别仅仅在于表达形式不同。
基本流程
结构离散
将整个结构拆分成若干具有单一刚度的直杆（称为单元杆件）和单纯的铰结点、刚结点。形象的说，就是将结构的每一根具有单一刚度的直杆在两个节点附近“锯”下来，最终分解成为单元杆件、铰结点、刚结点和基础这四类“零件”。如图1所示。
当结构中存在曲杆或变刚度杆件时（图2），可用“微分逼近”的方法将其近似为刚架结构。
图1 
图2 单元分析
首先，将单元杆件、节点和位移分别编号。单元杆件的编号为圆圈修饰的阿拉伯数字序号（如①），节点的编号为不加修饰的阿拉伯数字序号或英文字母（如1，A）；以上两种数字编号为正整数。节点位移的编号（下称位移编号）为带小括号的一组自然数，编号方式分为先处理法和后处理法。先处理法是将节点的已知位移统一编为0号，未知位移编以互不相同的正整数。后处理法是所有的位移均编以互不相同的正整数。示例如(1,2,3)或(0,4,5)（先处理法）。注意：桁架的位移编号方式是先处理法和后处理法相结合，基础上的铰结点可以运用先处理法编号(0,0)，但与基础通过链杆连接的节点必须运用后处理法编两个非零的号码(1,2)。
对于连续梁（一维）结构，一组位移编号只包含一个角位移号码，此时节点数字号码可直接作为位移号码处理；对于桁架结构，一组位移编号包含x位移和y位移号码；对于刚架结构，一组位移编号包含x位移、y位移和角位移号码。非零的位移编号也就是位移量Δ的下标值。
以上三种编号仅存在名称（ID）意义，每一个杆件、节点及位移/未知位移都可以编任意的正整数号码，数据处理时一定要注意对号入座。
图3是超静定刚架的先处理法编号方式；图4是组合节点的编号方式。
图3 
图4 其次，建立平面直角坐标系xOy。
第三，将每一根杆件进行刚度分析。因为单元杆件系从原结构上“锯”下来的，所以单元杆件两端的约束均为固端约束，存在固端轴力、剪力和弯矩。
单元杆件是存在方向的，如果图3中的三根单元杆件均以水平向右和竖直向上为方向，则①②③的转角分别为0、0、π/2。凡是与单元有关的物理量，其表达符号上加一短横；单元杆件的起点以 ͞1表示，终点以 ͞2表示。
单元杆件的坐标系采用局部直角坐标系 ͞͞x͞͞O͞͞y，如图5所示， ͞1、 ͞2两端的单元位移编号分别是(a1,a2,a3)及(a4,a5,a6)，对应局部直角坐标系下单元位移 ͞Δ1, ͞Δ2, ͞Δ3,͞Δ4, ͞Δ5, ͞Δ6。
对于桁架单元，单元杆（设其编号为e）仅存在轴向位移，即 ͞Δ2=͞Δ3=͞Δ5=͞Δ6=0。因此我们可以列出单刚矩阵 ͞Kᵉ=
图5（红色表示局部量，黑色表示绝对量） ┌ ┐
│ 1 -1 │ ×͞Eᵉ ͞Aᵉ / ͞Lᵉ，位移列向量 ͞Δᵉ= [͞Δ1, ͞Δ4]ᵀ
│ -1 1 │
└ ┘
对于连续梁（一维）单元，单元杆仅存在角位移，即 ͞Δ1=͞Δ2=͞Δ4=͞Δ5=0。 ͞Kᵉ=
┌ ┐
│ 4 2 │ ×͞Eᵉ ͞Iᵉ / ͞Lᵉ， ͞Δᵉ= [͞Δ3, ͞Δ6]ᵀ
│ 2 4 │
└ ┘
对于平面刚架单元，单元杆六个位移均存在， ͞Kᵉ=
┌ ┐
│ ͞Eᵉ ͞Aᵉ /͞Lᵉ 0 0 -͞Eᵉ ͞Iᵉ / ͞Lᵉ 0 0 │
│ 0 12͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)³ 6͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² 0 -12͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)³ 6͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² │
│ 0 6͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² 4͞Eᵉ ͞Iᵉ / ͞Lᵉ 0 -6͞Eᵉ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² 2͞Eᵉ͞Iᵉ / ͞Lᵉ │
│ -͞Eᵉ ͞Aᵉ / ͞Lᵉ 0 0 Eᵉ ͞Iᵉ / ͞Lᵉ 0 0 │,
│ 0 -12͞Eᵉ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)³ -6͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² 0 12͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)³ -6͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² │
│ 0 6͞Eᵉ ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² 2͞Eᵉ ͞Iᵉ / ͞Lᵉ 0 -6͞Eᵉ͞Iᵉ /(͞Lᵉ)² 4͞Eᵉ͞Iᵉ / ͞Lᵉ │
└ ┘
͞Δᵉ = [͞Δ1, ͞Δ2,͞Δ3, ͞Δ4, ͞Δ5,͞Δ6]ᵀ
说明：（a）单刚矩阵一定是对称阵。（b）单刚矩阵一定是正定矩阵，因为二次型 ͞Δᵉᵀ͞Kᵉ͞Δᵉ表示向节点施加任意位移时所做的变形功，其一定是正的。（c）除连续梁外的单刚矩阵具有奇异性（不可逆性），即|͞Kᵉ|=0。
坐标转换
设单元杆在绝对二维坐标系下的转角是α，则其局部线位移、角位移坐标转换成绝对坐标的基本矩阵是
┌ ┐
│ sin α cos α 0 │
t= │ -cos α sin α 0 │
│ 0 0 1 │
└ ┘
对于刚架问题，坐标转换矩阵为
┌ ┐
T=│t 0│
│0 t│
└ ┘
对于桁架问题，坐标转换矩阵为
┌ ┐
│ cos α sin α 0 0 │
T= │ 0 0 cos α sin α │
└ ┘
Kᵉ= Tᵀ͞KᵉT
整体分析
整体分析是指将结构中的每一根单元杆经坐标转换后依次代入原结构进行叠加，从而构成最终的总刚矩阵。运用先处理法得到的总刚矩阵一定是可逆的，它是最终解线性方程组的矩阵。
下面我们用先处理法得到图3结构的总刚矩阵K（设单元杆长度均为L，E、I和A都是唯一值）。
图3存在4个未知位移，因此K为4阶方阵。首先构建未知位移列向量Δ=[Δ1,Δ2,Δ3,Δ4]ᵀ。
分析各根单元杆：（为方便记忆，kEI简写成(k)，kEA简写成[k]；括弧中的非0数字表示K的行和列，0表示不录入K的行或列）
K(①) =
(0) (0) (0) (1) (2) (3)
┌ ┐
│ [1]/L 0 0 -[1]/L 0 0 │ (0)
│ 0 (12)/L³ (6)/L² 0 -(12)/L³ (6)/L² │ (0)
│ 0 (6)/L² (4)/L 0 -(6)/L² (2)/L │ (0)
│ -[1]/L 0 0 [1]/L 0 0 │ (1)
│ 0 -(12)/L³ -(6)/L² 0 (12)/L³ -(6)/L² │ (2)
│ 0 (6)/L² (2)/L 0 -(6)/L² (4)/L │ (3)
└ ┘
K(②) =
(1) (2) (3) (0) (0) (4)
┌ ┐
│ [1]/L 0 0 -[1]/L 0 0 │ (1)
│ 0 (12)/L³ (6)/L² 0 -(12)/L³ (6)/L² │ (2)
│ 0 (6)/L² (4)/L 0 -(6)/L² (2)/L │ (3)
│ -[1]/L 0 0 [1]/L 0 0 │ (0)
│ 0 -(12)/L³ -(6)/L² 0 (12)/L³ -(6)/L² │ (0)
│ 0 (6)/L² (2)/L 0 -(6)/L² (4)/L │ (4)
└ ┘
K(③) = T(π/2)ᵀ
(0) (0) (0) (1) (2) (3)
┌ ┐
│ [1]/L 0 0 -[1]/L 0 0 │ (0)
│ 0 (12)/L³ (6)/L² 0 -(12)/L³ (6)/L² │ (0)
│ 0 (6)/L² (4)/L 0 -(6)/L² (2)/L │ (0) T(π/2) =
│ -[1]/L 0 0 [1]/L 0 0 │ (1)
│ 0 -(12)/L³ -(6)/L² 0 (12)/L³ -(6)/L² │ (2)
│ 0 (6)/L² (2)/L 0 -(6)/L² (4)/L │ (3)
└ ┘
(0) (0) (0) (1) (2) (3)
┌ ┐
│ (12)/L³ 0 -(6)/L² -(12)/L³ 0 -(6)/L² │ (0)
│ 0 [1]/L 0 0 -[1]/L 0 │ (0)
│ -(6)/L² 0 (4)/L (6)/L² 0 (2)/L │ (0)
│ -(12)/L³ 0 (6)/L² (12)/L³ 0 (6)/L² │ (1)
│ 0 -[1]/L 0 0 [1]/L 0 │ (2)
│ -(6)/L² 0 (2)/L (6)/L² 0 (4)/L │ (3)
└ ┘
对号入座，叠加矩阵K：
K=
┌ ┐
│[1]/L 0 0 0 │
│ 0 (12)/L³ -(6)/L² 0 │ +
│ 0 -(6)/L² (4)/L 0 │
│ 0 0 0 0 │
└ ┘
┌ ┐
│[1]/L 0 0 0 │
│ 0 (12)/L³ (6)/L² (6)/L² │ +
│ 0 (6)/L² (4)/L (2)/L │
│ 0 (6)/L² (2)/L (4)/L │
└ ┘
┌ ┐
│(12)/L³ 0 (6)/L² 0 │
│ 0 [1] /L 0 (6)/L² │ =
│ (6)/L² 0 (4)/L (2)/L │
│ 0 (6)/L² (2)/L (4)/L │
└ ┘
┌ ┐
│[2]/L+(12)/L³ 0 (6)/L² 0 │
│ 0 [1]/L+(24)/L³ 0 (12)/L² │
│ (6)/L² 0 (12)/L (4)/L │
│ 0 (12)/L² (4)/L (8)/L │
└ ┘
代入荷载
以上所述的矩阵K是最终线性方程组等号左边的方阵，根据“单元刚度×位移=力”原则，等号右边应该为节点荷载与单元杆上荷载产生的杆端力的列阵（列向量）之和，即
KΔ = F[D] + F[E]= F[D] – F[F]
其中F[D]表示直接作用在节点上且与对应位移矢量重合的力、力矩的集合；F[E]表示因单元杆上荷载类型产生的杆端力即固端力的反作用力的集合，即固端力列阵F[F]取反，亦即F[F] + F[D] ≡ 0。
| 受力图 | ͞͞F(͞1) | ͞͞F(͞2) | ͞͞F(͞3) | ͞͞F(͞4) |
|---|---|---|---|---|
跨中受集中力  | F /2 | F L/8 | F /2 | -F L/8 |
 满跨均布荷载 | qL/2 | qL²/24 | qL/2 | -qL²/24 |
 跨中力矩 | 1.5M/L | M/4 | -1.5M/L | M/4 |
在图3结构上施加图6所示荷载，则F[D]=[F1,0,0,0]ᵀ，F[E] = -F[F] = [-1.5M1/L, -F2/2, F2L/8 - M1, 0]ᵀ。位移对应的杆端力也需要进行坐标转换，在此不再赘述。
图6 解方程组
解方程组KΔ = F[D] + F[E]。一般地，当K为低阶方阵时，笔算不会出现太大的差错；K的阶数较高时，则推荐使用计算机编写程序求解。一般使用的计算机语言为MATLAB、Fortran、Python等工程计算语言；如果使用C或C++则需要自己构建相关矩阵运算和解方程组函数的头文件并用#include命令包含在C/C++代码中。
计算机辅助计算的思路流程大致与上述一级流程一致。矩阵位移法实现了结构的完全代数化，因此能够通过计算机运用此方法求解较复杂的结构。实际工程中求解未知自由度较多（一般为几千个）的结构时，一般使用大型计算机；如果使用个人电脑则必须考虑计算机可供用户申请内存的大小（Windows 10 最高为1 GB）。
得出结果
将解出的Δ的每个元素代回相应的单元杆，作出轴力图、弯矩图和剪力图。
空间问题
空间矩阵位移法单元杆存在12个未知位移，每个节点6个。在空间局部坐标系中，一根与 ͞x方向平行的单元杆要受到轴力、 ͞͞z方向剪力和弯矩、 ͞y方向剪力和弯矩，还有扭矩。它们对应的刚度因子分别是EA、EIy、EIz和G(Iy + Iz)。因此在空间问题中，桁架问题的Kᵉ为6阶，刚架问题为12阶。
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